學校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,,與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線,拋物線的頂點為,對稱軸與地面垂直,溝深2米,溝中水深1米.
(1)求水面寬;
(2)如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體,已知柱體的體積為底面積乘以高,求溝中的水有多少立方米?


(3)現(xiàn)在學校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝,使溝的底面與地面平行,溝深不變,兩腰分別與拋物線相切(如圖2),問改挖后的溝底寬為多少米時,所挖的土最少?
(1)米(2)立方米;(3)

試題分析:(1)以O為坐標原點,拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系,寫出A,B點的坐標,利用待定系數(shù)法拋物線方程,利用水深即為水面與拋物線交點的縱坐標,代入拋物線方程求出水面與拋物線交點的橫坐標,結合圖知所求橫坐標的2倍就是水面寬度;(2)利用定積分求出水體底面面積,再用柱體體積公式求出水體體積;(3)設出切點坐標,利用切點的導數(shù)就是切線的斜率求出切線的斜率,利用直線方程的點斜式求出切線方程,求出上下兩底頂點的坐標,利用上下底頂點坐標的二倍就是梯形上下底寬算出梯形上下底的寬,將梯形面積表示為切點的橫坐標的函數(shù),利用基本不等式求出面積取最小值時對應的切點坐標,從而求出梯形的下底寬.
試題解析:(1)如圖建立直角坐標系,設拋物線方程為

則由拋物線過點,可得
于是拋物線方程為
時,,由此知水面寬為(米).
(2)(立方米)
(3)為使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切.
設切點是拋物線弧上的一點,過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形,則切線的方程為:,于是
記梯形的面積為,則,
當且僅當,時,等號成立,所以改挖后的溝底寬為米時,所挖的土最少.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)
(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式有解,求實數(shù)m的取值菹圍;
(3)證明:當a=0時,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

有一段“三段論”推理是這樣的:“對于可導函數(shù),如果,那么是函數(shù) 的極值點;因為函數(shù)處的導數(shù)值,所以是函數(shù)的極值點.”以上推理中(  )
A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.結論正確

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)上有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍為(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知,點在曲線上,若線段與曲線相交且交點恰為線段的中點,則稱為曲線關于曲線的一個關聯(lián)點.那么曲線關于曲線的關聯(lián)點的個數(shù)為(   )
A.0B.1C.2D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

設函數(shù)滿足:,則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為          

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

若定義運算:,例如,則下列等式不能成立的是(    )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

設函數(shù)f(x)= (a<0)的定義域為D,若所有點(s,f(t))(s、t∈D)構成一個正方形區(qū)域,則a的值為________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          .

查看答案和解析>>

同步練習冊答案