Question

20．當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，對于方程（2^|x|-1）²-（2^|x|-1）-k=0的解的判斷不正確的是（　　）

• A． $k＜-\frac{1}{4}$時(shí)，無解
• B． $k=-\frac{1}{4}$時(shí)，有2個(gè)解
• C． $-\frac{1}{4}＜k≤0$時(shí)，有4個(gè)解
• D． k＞0時(shí)，有2個(gè)解

Answer 1

分析 令令t=2^|x|-1，則t∈[0，+∞），方程即k=t²-t∈[-$\frac{1}{4}$，+∞），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：令t=2^|x|-1，則t∈[0，+∞），
方程即 t²-t-k=0，即 k=t²-t．
由于t²-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)k＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，方程無解，故A正確；
當(dāng)k=-$\frac{1}{4}$時(shí)，方程有兩解，且為x=±log₂$\frac{3}{2}$，故B正確；
當(dāng)k＞0時(shí)，方程t²-t-k=0的判別式△=1+4k＞0，兩根異號，
則方程有兩解，故D正確；
當(dāng)k=0時(shí)，方程即為t²-t=0，求得t=0，或t=1，
此時(shí)x=0或±1，有三個(gè)解，故C不正確．
故選C．

點(diǎn)評 本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．