Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1） 當(dāng)時， ，求導(dǎo)，由求出切線斜率及點，即可求出切線方程；（2）由在定義域區(qū)間上恒成立得，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可求出的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，由在區(qū)間上，函數(shù)至少存在一點使，即由在區(qū)間上，求出的范圍即可.

試題解析：已知函數(shù).

（1）， ，

， ， 故切線方程為： .

（2），由在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以在上恒成立，∴即，對恒成立，設(shè)， ，

易知， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，

∴，即.

（3）設(shè)函數(shù)， ，

則原問題在上至少存在一點，使得

，

當(dāng)時， ，則在上單調(diào)遞增， ，舍；

當(dāng)時， ，

∵，∴， ， ，則，舍； 當(dāng)時， ，

則在上單調(diào)遞增， ，整理得，

綜上， .