Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1對任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[1，+∞）
• B、[-

  1

  2

  ，+∞）
• C、（-∞，1]
• D、（-∞，-

  1

  2

  ]

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：方法一、討論判別式小于0，或判別式大于0，區(qū)間在對稱軸的左邊或右邊，由單調(diào)性考慮最小值不大于0，解出不等式組即可；
方法二、運用參數(shù)分離，得到2a≤x+

1

x

在x∈（0，1]恒成立，對右邊運用基本不等式，求得最小值2，解2a≤2，即可得到．

解答： 解法一：依題意可得△=4a²-4≤0，或

△＞0 - -2a 2 ≤0 f(0)≥0

或

△＞0 - -2a 2 ≥1 f(1)≥0

，
解得-1≤a≤1，或

a＞1或a＜-1 a≤0 1≥0

或

a＞1或a＜-1 a≥1 a≤1

，
即有-1≤a≤1，或a＜-1或a∈∅，故實數(shù)a的取值范圍是：（-∞，1]
解法二：f（x）=x²-2ax+1對任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，
即有2a≤x+

1

x

在x∈（0，1]恒成立，
由于x+

1

x

≥2，當且僅當x=1取最小值2，
則2a≤2，即有a≤1．
故選C．

點評：本題考查含參二次不等式恒成立問題可運用二次函數(shù)的性質(zhì)和判別式，也可通過參數(shù)分離，運用基本不等式求最值，屬于中檔題．