Question

函數(shù)f（x）=2x2-ax-3是偶函數(shù)．
（1）試確定a的值，及此時(shí)的函數(shù)解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，求函數(shù)f（x）=2x2-ax-3的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系,冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，f（-x）=f（x），求出a=0；
（2）用定義證明f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（3）由（2）得，根據(jù)f（x）在[-2，0]的單調(diào)性，求出f（x）在[-2，0]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即2(-x)2-a(-x)-3=2x2-ax-3，
∴x²+ax-3=x²-ax-3；
∴a=0，
∴f（x）=2x2-3；
（2）證明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂；
∴

f(x1)

f(x2)

=

2x12-3

2x22-3

=2(x1+x2)(x1-x2)；
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，
∴

f(x1)

f(x2)

＞1，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
（3）由（2）知，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（-2）=2(-2)2-3=2，f（0）202-3=

1

8

；
∴函數(shù)f（x）在[-2，0]上的值域是[

1

8

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，單調(diào)性的證明，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域的問(wèn)題，是綜合題．