Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（{a＞b＞0}）的離心率e=

3

2

，直線l：y=x+

2

與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A₁R與A₂Q交于點(diǎn)S，其中A₁，A₂為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．問當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用直線l：y=x+

2

與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切，求出b，利用e=

3

2

，求出a，由此能求出橢圓C的方程．
（II）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），若點(diǎn)S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．再進(jìn)行一般性的證明．

解答： 解：（1）∵直線l：y=x+

2

與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切，
∴b=

2

2

=1，
∵e=

3

2

，
∴a=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）取m=0，得P（1，

3

2

），Q（1，-

3

2

），
直線A₁P的方程是y=

3

6

x+

3

3

，直線A₂Q的方程是y=

3

2

x-

3

交點(diǎn)為S₁（4，

3

）．
由對(duì)稱性可知S₂（4，-

3

）．
若點(diǎn)S在同一條直線上，由直線只能為l：x=4．
以下證明對(duì)于任意的m，直線A₁P與A₂Q的交點(diǎn)S均在直線l：x=4上，
事實(shí)上，由直線x=my+1與橢得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，
記A₁P與l交于點(diǎn)S₀（4，y₀），
由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y₀=

6y1

x1+2

，
設(shè)A₂Q與l交于點(diǎn)S′₀（4，y′₀），
由

y0′

4-2

=

y2

x2-2

，得y₀′=

2y2

x2-2

，
∵y₀-y₀′=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=0
∴y₀=y′₀，即S₀與S′₀重合，
這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線l：x=4上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)變換．注意對(duì)稱性的合理運(yùn)用．