Question

4．已知等比數(shù)列{a_n}的前10項的積為32，則以下論述：
①數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)
②數(shù)列{a_n}中必有小于$\sqrt{2}$的項
③數(shù)列{a_n}的公比必是正數(shù)
④數(shù)列{a_n}的首項和公比中必有一個大于1
其中正確的為（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③
• D． ③④

Answer 1

分析 由等比數(shù)列{a_n}的前10項的積為32，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可知${{a}_{5}}^{2}q=2$，然后分別進行判斷即可．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的前10項的積為32，∴a₁a₂a₃…a₁₀=${（a}_{5}{a}_{6}）^{5}$=32．
∴a₅a₆=2，
設公比為q，則${{a}_{5}}^{2}q=2$，故q必是正數(shù)，故③正確．
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可知a₅可以為負數(shù)，故①錯誤；
由a₅a₆=2可以得前10項全為$\sqrt{2}$，故②錯誤；
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可得${{（a}_{1}{q}^{4}）}^{2}q={{a}_{1}}^{2}{q}^{9}=2$，可取q=1、${a}_{1}=-\sqrt{2}$均不大于1，故④錯誤．
故正確的命題是③
故選C．

點評 本題主要考查與等比數(shù)列有關(guān)的命題的真假判斷，由等比數(shù)列的性質(zhì)得出${{a}_{5}}^{2}q=2$，推出q必是正數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．考查學生的運算和推理能力．