Question

18．如圖，已知拋物線C₁：x²=2py的焦點在拋物線C₂：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$上．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）過拋物線C₁上的動點P作拋物線C₂的兩條切線PM、PN，切點為M、N．若PM、PN的斜率乘積為m，且m∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$]，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）寫出C₁的焦點為F（0，$\frac{p}{2}$），代入拋物線C₂方程即可求得p值，從而可得拋物線C₁的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）任取點P（t，t²），設(shè)過點P的C₂的切線方程為y-t²=k（x-t）．聯(lián)立切線方程與拋物線C₂的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理為關(guān)于k的二次方程，設(shè)PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，由韋達定理可用t表示出m，根據(jù)m范圍可得t²范圍，由兩點距離公式可得|OP|的范圍．

解答 解：（Ⅰ）C₁的焦點為F（0，$\frac{p}{2}$），所以$\frac{p}{2}$=0+$\frac{1}{4}$，p=$\frac{1}{2}$．
故C₁的方程為x²=y，其準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{4}$．…（4分）
（Ⅱ）任取點P（t，t²），設(shè)過點P的C₂的切線方程為y-t²=k（x-t）．…（5分）
代入拋物線方程，得2x²-4kx+4tk-4t²+1=0．…（6分）
由△=（2k）²-8（4tk-4t²+1）=0，化簡得2k²-4tk+4t²-1=0，
記PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，則m=k₁k₂=2t²-$\frac{1}{2}$，
因為m∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$]，所以t²∈[1，2]…（10分）
所以|OP|²=t²+t⁴=（t²+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$∈[2，6]，
所以|OP|∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．…（12分）

點評 本題考查拋物線方程、直線方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，本題中P點坐標(biāo)設(shè)法運用了拋物線的參數(shù)方程，簡化了運算，給解決問題提供了方便．