【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a>0)的最小值是1.
(1)求a;
(2)若關(guān)于x的方程f2(x)ex-6mf(x)+9me-x=0在區(qū)間[1,+∞)有唯一的實(shí)根,求m的取值范圍.
【答案】(1)a=2.(2) .
【解析】試題分析:
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出的最小值,問題轉(zhuǎn)化為,記,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的值即可;
(2)由條件可得,令,原問題等價(jià)于方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解,通過討論的符號(hào),求出的范圍即可.
試題解析:
(1)f′(x)=2x-=(x>0).
所以,當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
故f(x)min=f=-ln,
由題意可得:-ln=1,即-ln-1=0,
記g(a)=-ln-1(a>0),
則函數(shù)g(a)的零點(diǎn)即為方程-ln=1的根;
由于g′(a)=-ln,故a=2時(shí),g′(2)=0,
且0<a<2時(shí),g′(a)>0;a>2時(shí),g′(a)<0,
所以a=2是函數(shù)g(a)的唯一極大值點(diǎn),
所以g(a)≤g(2),又g(2)=0,所以a=2.
(2)由條件可得f2(x)e2x-6mf(x)ex+9m=0,
令g(x)=f(x)ex=(x2-2ln x)ex,
則g′(x)=ex,
令r(x)=x2+2x--2ln x(x≥1),
則r′(x)=2x+2+->2x-=≥0,
r(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴g(x)≥g(1)=e;
所以原問題等價(jià)于方程t2-6mt+9m=0在區(qū)間[e,+∞)內(nèi)有唯一解,
當(dāng)Δ=0時(shí)可得m=0或m=1,經(jīng)檢驗(yàn)m=1滿足條件.
當(dāng)Δ>0時(shí)可得m<0或m>1,
所以e2-6me+9m≤0,解之得m≥,
綜上,m的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .
(1)求證: ;
(2)若存在,使,求的取值范圍;
(3)若對(duì)任意的恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1, =2an+1(an+1)-an.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a10=4a3,a4=3a1+7.
(1)求通項(xiàng)公式an;
(2)若bn=an-2an+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,偏差是指個(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差,在成績統(tǒng)計(jì)中,我們把某個(gè)同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個(gè)別學(xué)生的偏科情況,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x(單位:分)與物理偏差y(單位:分)之間的關(guān)系進(jìn)行學(xué)科偏差分析,決定從全班56位同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下:
學(xué)生序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為118分,物理平均分為90.5,試預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績126分的同學(xué)的物理成績.
參考公式: .
參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了減少霧霾,還城市一片藍(lán)天,某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實(shí)行車輛限號(hào)出行政策,鼓勵(lì)民眾不開車低碳出行,某甲乙兩個(gè)單位各有200名員工,為了了解員工低碳出行的情況,統(tǒng)計(jì)了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù),畫出莖葉圖如下:
(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求;
(2)現(xiàn)從如圖的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩單位中各取2天),記其中甲、乙兩單位員工低碳出行人數(shù)不低于130人的天數(shù)為, ,令,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·黃岡質(zhì)檢)如圖,在棱長均為2的正四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),則下列命題正確的是( )
A. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
B. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
C. BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角大于30°
D. BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角小于30°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·河西五市二聯(lián))下列說法正確的是( )
A. 命題“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B. 命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題
C. “x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)min在x∈[1,2]上恒成立”
D. 命題“若a=-1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x-1只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題
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