Question

16．若直線y=kx+1（k∈R）與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 解法一、聯(lián)立直線和橢圓方程，運(yùn)用判別式非負(fù)，解不等式即可得到所求范圍；
解法二、求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，討論橢圓的焦點(diǎn)位置，由直線和橢圓有交點(diǎn)，可得m的范圍；
解法三、先根據(jù)直線方程可知直線恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，要使直線y=kx+1與橢圓恒有公共點(diǎn)需（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，進(jìn)而求得m的范圍

解答 解法一：由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1}\end{array}}\right.$可得（5k²+m）x²+10kx+5-5m=0，
∴△=m-5k²-1≥0即m≥5k²+1≥1∴m≥1且m≠5；
解法二：直線恒過(guò)一定點(diǎn)（0，1），
當(dāng)m＜5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長(zhǎng)$b=\sqrt{m}$，
要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則$\sqrt{m}≥1$，即1≤m＜5；
當(dāng)m＞5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)$a=\sqrt{5}$，
可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即m＞5．
綜述：m≥1且m≠5；
解法三：直線恒過(guò)一定點(diǎn)（0，1），
要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，
即要保證定點(diǎn)（0，1）在橢圓內(nèi)部$\frac{0^2}{5}+\frac{1^2}{m}≤1$，
即m≥1且m≠5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與橢圓有公共點(diǎn)的問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)判別式非負(fù)解決，也可以通過(guò)直線恒過(guò)定點(diǎn)，證明定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，屬于中檔題．