Question

5．下列命題：
①函數(shù)y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x）的最小值等于-1；
②函數(shù)y=sinπxcosπx是最小正周期為2的奇函數(shù)；
③函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增；
④若sin2α＜0，cosα-sinα＜0，則α一定為第二象限角；
正確的個數(shù)是2．

Answer 1

分析 由$（\frac{π}{6}+x）+（\frac{π}{3}-x）$=$\frac{π}{2}$，得到cos（$\frac{π}{6}$+x）=sin（$\frac{π}{3}$-x）進(jìn)一步化簡y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x），則可判斷①正確；利用倍角公式化簡后，再通過函數(shù)的周期性和奇偶性判斷②；由相位的范圍可得函數(shù)在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上不是單調(diào)函數(shù)判斷③；由sin2α＜0，得到α在第二或四象限，結(jié)合cosα-sinα＜0即可判斷④正確．

解答 解：∵$（\frac{π}{6}+x）+（\frac{π}{3}-x）$=$\frac{π}{2}$，
∴cos（$\frac{π}{6}$+x）=sin（$\frac{π}{3}$-x）．
∴y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x）=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-sin（$\frac{π}{3}$-x）=-sin（x-$\frac{π}{3}$）．
∵x∈R，
∴y_min=-1．故①正確；
∵函數(shù)y=sinπxcosπx=$\frac{1}{2}$sin2πx，
∴f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)，T=$\frac{2π}{2π}=1$，故②不正確；
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$$≤x+\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{4}$．
∴函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上不是單調(diào)函數(shù)；故③不正確；
∵sin2α=2sinα•cosα＜0，∴α為第二或四象限角．
又∵cosα-sinα＜0，
∴α在第二象限．故④正確．
∴正確的命題個數(shù)是2．
故答案為：2．

點評 本題考查命題的真假性判斷，以及三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性以及象限角的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．