Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

x+1

（1）求f（x）的定義域；
（2）證明函數(shù)f（x）=

2x-1

x+1

在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由x+1≠0，得x≠-1．故函數(shù)的定義域是{x|x≠-1}．
（2）f（x）=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，在（1，+∞）上任取x₁，x₂，使得1＜x₁＜x₂，則可證f（x₁）＜f（x₂），即得f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

解答： 解：（1）由x+1≠0，得x≠-1．故函數(shù)的定義域是{x|x≠-1}．
（2）f（x）=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，
在（1，+∞）上任取x₁，x₂，使得1＜x₁＜x₂，則，
f（x₁）-f（x₂）=

3x1-3x2

(x1+1)(x2+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁+1＜x₂+1，且x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考察了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎(chǔ)題．