Question

4．在△ABC中，sinB=sinAcosC，且△ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦等于$\frac{1}{3}$．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角形的內(nèi)角和定理得到B=π-（A+C），代入已知等式左側(cè)，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后可得cosAsinC=0，結(jié)合sinC≠0，可得cosA=0，又A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{2}$，即△ABC為直角三角形．
（2）由題意，利用正弦定理可求最小邊長(zhǎng)，利用勾股定理可求另一直角邊，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC，
∴cosAsinC=0，
∵C為三角形內(nèi)角，sinC≠0，
∴cosA=0，
∴由A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{2}$，即△ABC為直角三角形．
（2）∵由（1）得A=$\frac{π}{2}$，由題意△ABC的最大邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦等于$\frac{1}{3}$．
∴設(shè)最小邊長(zhǎng)為x，則由正弦定理可得：$\frac{12}{sin\frac{π}{2}}$=$\frac{x}{\frac{1}{3}}$，解得：x=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=16$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，正弦定理，勾股定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．