Question

12．$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{π}{4}$x，1），$\overrightarrow$=（sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$x），-1）定義在R上的函數(shù)f（x+1）=-f（x），∈[1，3]時，f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$則下列大小關系正確的是（　　）

• A． f（tan（$\frac{1}{2}π-1$））＞f（cot1）
• B． f（cos$\frac{5}{6}π$）$＜f（cos\frac{π}{3}）$
• C． f（sin2）＞f（cos2）
• D． f（cos1）＞f（sin1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)周期，作出函數(shù)的圖形草圖，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與對稱性判斷．

解答 解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-1），f（x）=-f（x+1），
∴f（x-1）=f（x+1）．
∴f（x）是周期為2的函數(shù)．
當x∈[1，3]時，f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos$\frac{πx}{4}$sin（$\frac{π}{2}+\frac{πx}{4}$）-1=2cos²$\frac{πx}{4}$-1=cos$\frac{πx}{2}$．
∴f（x）在[1+2k，2+2k]上單調(diào)遞減，在[2+2k，3+2k]上單調(diào)遞增，
作出f（x）的圖象草圖：

由圖象可知f（x）為偶函數(shù)．
對于A，∵tan（$\frac{π}{2}-1$）=cot1，∴f（tan（$\frac{π}{2}-1$））=f（cot1）．故A錯誤．
f（cos$\frac{5π}{6}$）=f（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$），f（cos$\frac{π}{3}$）=f（$\frac{1}{2}$），
對于B，∵$0＜\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}＜1$，∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$），即f（cos$\frac{5π}{6}$）＞f（cos$\frac{π}{3}$），故B錯誤．
對于D，∵1＞sin1＞cos1＞0，
∴f（sin1）＞f（cos1），故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性應用，向量數(shù)量積的運算，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．