Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1，P為x軸上一個動點，PA、PB為該橢圓的兩條切線，A、B為切點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為4$\sqrt{5}$-9．

Answer 1

分析 設P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用橢圓的一點處的切線斜率$\frac{x}{2}$+2yy′=0，求出直線PA，PB的方程，進而得到AB的方程為，代入橢圓方程，利用數(shù)量積公式，以及韋達定理，化簡整理，由P為x軸上一個動點，可知n=0，利用基本不等式的關系，即可求得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：設P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則對$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1兩邊求導，得$\frac{x}{2}$+2yy′=0，
則過切點A的斜率為-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$，切線方程為：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{4{y}_{1}}$（x-x₁），
又${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}=4$，化簡即得PA：$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，同理可得，PB：$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$，
∵PA、PB為該橢圓的兩條切線，
∴直線AB的方程為$\frac{mx}{4}+ny=1$，
代入橢圓方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8m}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16-16{n}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-m）（y₂-m），=x₁•x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁•y₂-n（y₁+y₂）+n²，
=$\frac{20-3{m}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$+m²-n²-6，
∵P為X軸上一個動點，
∴n=0，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{20}{{m}^{2}}$+m²-9≥2$\sqrt{\frac{20}{{m}^{2}}•{m}^{2}}$=4$\sqrt{5}$-9，
當且僅當$\frac{20}{{m}^{2}}$=m²，即m²=2$\sqrt{5}$時取等號．
故答案為：4$\sqrt{5}$-9．

點評 本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理，平面向量的數(shù)量積和基本不等式的綜合應用，屬于中檔題．