分析 (1)點A1在底面△ABC的射影為O,連接A1O,取BC的中點E,連接AE,利用線面垂直的性質(zhì)定理可得A1O⊥BC.利用等邊三角形的性質(zhì)及其線面垂直的判定定理可得:BC⊥平面A1OA,可得BC⊥A1A,而AA1∥BB1,即可證明結(jié)論.
(2)由(1)知A1O,AO,BC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由于A1O⊥平面ABC,可得∠A1AO為A1A底面△ABC所成的角.求出平面PAB1的一個法向量,利用向量夾角公式即可得出.
解答 (1)證明:點A1在底面△ABC的射影為O,連接A1O,取BC的中點E,連接AE,
∵A1O⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1O⊥BC.
又∵AE⊥BC,AE∩A1O=O,∴BC⊥平面A1OA,
∵AA1?平面A1OA,∴BC⊥A1A,
∵AA1∥BB1,∴BC⊥BB1.
(2)解:由(1)知A1O,AO,BC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵A1O⊥平面ABC,∴∠A1AO為A1A底面△ABC所成的角.
∵AB=6,∴AO=√33×6=2√3,OE=√3,∠A1AO=600,A1O=6,
∴A(2√3,0,0),B(−√3,3,0),C(−√3,−3,0),A1(0,0,6),
→AA1=→BB1=→CC1=(−2√3,0,6),→AC=(−3√3,−3,0),→AB=(−3√3,3,0),→AP=→AC+12→CC1=(−4√3,−3,3),→AB1=→AB+→BB1=(−5√3,3,6),
設(shè)平面PAB1的一個法向量→n=(x,y,z),由→AP•→n=→AB1•→n=0,
得{−4√3x−3y+3z=0−5√3x+3y+6z=0,得→n=(√3,−1,3).
|cos<→n,→BB1>|=|→n•→BB1||→n||→BB1|=12√13×√48=√3913.
∴直線BB1與平面AB1P所成角的正弦值√3913.
點評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面垂直與平行的判定及其性質(zhì)定理、空間角、向量夾角公式、法向量的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 奇函數(shù) | B. | 偶函數(shù) | C. | 奇函數(shù)或偶函數(shù) | D. | 非奇非偶函數(shù) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (−12,32) | B. | [1,54) | C. | (1,32) | D. | [1,32) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 27 | B. | 32 | C. | 81 | D. | 128 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x29−y29=1 | B. | y29−x29=1 | C. | y218−x218=1 | D. | x218−y218=1 |
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