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8.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為邊長為6的等邊三角形,點A1在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心.
(1)求證:BC⊥BB1;
(2)若AA1與底面ABC所成角為60°,P為CC1的中點,求直線BB1與平面AB1P所成角的正弦值.

分析 (1)點A1在底面△ABC的射影為O,連接A1O,取BC的中點E,連接AE,利用線面垂直的性質(zhì)定理可得A1O⊥BC.利用等邊三角形的性質(zhì)及其線面垂直的判定定理可得:BC⊥平面A1OA,可得BC⊥A1A,而AA1∥BB1,即可證明結(jié)論.
(2)由(1)知A1O,AO,BC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由于A1O⊥平面ABC,可得∠A1AO為A1A底面△ABC所成的角.求出平面PAB1的一個法向量,利用向量夾角公式即可得出.

解答 (1)證明:點A1在底面△ABC的射影為O,連接A1O,取BC的中點E,連接AE,
∵A1O⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1O⊥BC.
又∵AE⊥BC,AE∩A1O=O,∴BC⊥平面A1OA,
∵AA1?平面A1OA,∴BC⊥A1A,
∵AA1∥BB1,∴BC⊥BB1
(2)解:由(1)知A1O,AO,BC兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵A1O⊥平面ABC,∴∠A1AO為A1A底面△ABC所成的角.
∵AB=6,∴AO=33×6=23,OE=3A1AO=600,A1O=6,
A2300B330,C330,A1(0,0,6),
AA1=BB1=CC1=2306,AC=3330,AB=3330,AP=AC+12CC1=4333,AB1=AB+BB1=5336,
設(shè)平面PAB1的一個法向量n=xyz,由APn=AB1n=0,
{43x3y+3z=053x+3y+6z=0,得n=313
|cosnBB1|=|nBB1||n||BB1|=1213×48=3913
∴直線BB1與平面AB1P所成角的正弦值3913

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面垂直與平行的判定及其性質(zhì)定理、空間角、向量夾角公式、法向量的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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