Question

3．已知函數(shù)$f（x）={x^2}-\frac{1}{2}lnx+\frac{3}{2}$在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$
• B． $[{1，\frac{5}{4}}）$
• C． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• D． $[{1，\frac{3}{2}}）$

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導數(shù)，令導函數(shù)為0，求出x的值，得到不等式解出k的值即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），所以a-1≥0即a≥1，
f′（x）=2x-$\frac{1}{2x}$=$\frac{4{x}^{2}-1}{2x}$，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$（不在定義域內(nèi)舍），
由于函數(shù)在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以$\frac{1}{2}$∈（a-1，a+1），
即a-1＜$\frac{1}{2}$＜k+1，解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{2}$，
綜上得1≤k＜$\frac{3}{2}$，
故選：D

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，是一道基礎題．