Question

16．函數(shù)f（x）=3|x+5|-2|x+3|，數(shù)列a₁，a₂，…，a_n…，滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*，若要使a₁，a₂，…a_n，…成等差數(shù)列．則a₁的取值范圍{-9}∪[-3，+∞）．

Answer 1

分析 由絕對(duì)值的意義可得f（x）的分段函數(shù)式，求得對(duì)任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．{a_n}為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a_n≥-3，再對(duì)a₁討論，①當(dāng)a₁＜-5時(shí)，②若-5≤a₁＜-3，③若a₁≥-3，結(jié)合函數(shù)式和等差數(shù)列的通項(xiàng)，即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x≥-3時(shí)，f（x）=3x+15-2x-6=x+9；
當(dāng)-5≤x＜-3時(shí)，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；
當(dāng)x＜-5時(shí)，f（x）=-3x-15+2x+6=-x-9．
當(dāng)a_n≥-3時(shí)，a_n+1-a_n=9；
當(dāng)-5≤a_n＜-3時(shí)，a_n+1-a_n=4a_n+21≥4×（-5）+21=1；
當(dāng)a_n＜-5時(shí)，a_n+1-a_n=-2a_n-9＞-2×（-5）-9=1．
∴對(duì)任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥1．
即a_n+1≥a_n，即{a_n}為無窮遞增數(shù)列．
又{a_n}為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)n＞M時(shí)，a_n≥-3，
從而a_n+1=f（a_n）=a_n+9，由于{a_n}為等差數(shù)列，
因此公差d=9．
①當(dāng)a₁＜-5時(shí)，則a₂=f（a₁）=-a₁-9，
又a₂=a₁+d=a₁+9，故-a₁-9=a₁+9，即a₁=-9，從而a₂=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，由于{a_n}為遞增數(shù)列，故a_n≥a₂=0＞-3，
∴a_n+1=f（a_n）=a_n+9，而a₂=a₁+9，故當(dāng)a₁=-9時(shí)，{a_n}為無窮等差數(shù)列，符合要求；
②若-5≤a₁＜-3，則a₂=f（a₁）=5a₁+21，又a₂=a₁+d=a₁+9，
∴5a₁+21=a₁+9，得a₁=-3，應(yīng)舍去；
③若a₁≥-3，則由a_n≥a₁得到a_n+1=f（a_n）=a_n+9，從而{a_n}為無窮等差數(shù)列，符合要求．
綜上可知：a₁的取值范圍為{-9}∪[-3，+∞）．
故答案為：{-9}∪[-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了分類討論的思想方法、如何去絕對(duì)值符號(hào)、遞增數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．