Question

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點（3，0）的直線L與橢圓交于P，Q兩點，若OP⊥OQ（O為坐標原點），求直線L的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4$\sqrt{3}$，建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到交點的坐標滿足的關(guān)系，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率，即得到直線的方程．

解答 解：（1）∵橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{1}{2}•2a•2b$=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由直線與橢圓方程聯(lián)立可得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
∴x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{27{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$
∵y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3），
∴y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，∴y₁y₂+x₁x₂=0，
∴$\frac{27{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$+$\frac{3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=0
得k²=$\frac{1}{5}$，
此時△＞0，∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴所求直線的方程為y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$（x-3）．

點評 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理找突破口．