Question

【題目】設(shè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為，則將兩個(gè)數(shù)列的偏差距離定義為，其中.

（1）求數(shù)列1，2，7，8和數(shù)列2，3，5，6的偏差距離；

（2）設(shè)為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，和為中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為，若，，和的偏差距離小于2020，求最大值；

（3）記是所有7項(xiàng)數(shù)列或的集合，，且中任何兩個(gè)元素的偏差距離大于或等于3，證明：中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）3461；（3）見解析.

【解析】

（1）由數(shù)列距離的定義即可求得數(shù)列1，2，7，8和數(shù)列2，3，5，6的偏差距離；

（2）由數(shù)列的遞推公式，即可求得中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，求得數(shù)列，的規(guī)律，可知隨著項(xiàng)數(shù)越大，數(shù)列，的距離越大，由，再根據(jù)周期的定義得到的取大值；

（3）利用反證法，假設(shè)中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，設(shè)出，最后求得和中必有一個(gè)成立，與數(shù)列偏差距離大于或等于3相矛盾，故可證明中的元素個(gè)數(shù)于于或等于16.

（1）由題意得，數(shù)列1，2，7，8和數(shù)列2，3，5，6的偏差距離為：.

（2）設(shè)，其中，且，

由得，所以.

因此中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，

所以數(shù)列中，，

所以數(shù)列中，，

項(xiàng)數(shù)越大，數(shù)列，的距離越大，

由，

得，

故的最大值為.

（3）假設(shè)中元素素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，

因?yàn)閿?shù)列中，或，

所以僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組有且僅有8個(gè)，

那么這17個(gè)元素（即數(shù)列）之中必有三個(gè)具有相同的，

設(shè)這個(gè)數(shù)列分別為

，其中，

因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)列中每兩個(gè)的距離大于等于3，

所以，和中，中至少有三個(gè)成立，

不妨設(shè)，

由題意，和中一個(gè)等于0，而另一個(gè)等于1，

又因?yàn)?/span>或，

所以和中必有一個(gè)成立，

同理，得和中必有一個(gè)成立，和中必有一個(gè)成立，

所以“中至少有兩個(gè)成立”或“中至少有兩個(gè)成立”中必有一個(gè)成立，

所以和中必有一個(gè)成立，與題意矛盾，

所以中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.