Question

【題目】已知函數(shù)，其中，且，且.

（1）若，試判斷的奇偶性；

（2）若，，，證明的圖像是軸對稱圖形，并求出對稱軸.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，其對稱軸是直線．

【解析】

（1）由得出，于是得出，利用偶函數(shù)的定義得出，利用奇函數(shù)的定義得出，于是得出當時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；

（2）先得出，并設函數(shù)圖象的對稱軸為直線，利用定義，列等式求出的值，即可而出函數(shù)圖象的對稱軸方程.

（1）由已知，，于是，則，

若是偶函數(shù)，則，即，

所以對任意實數(shù)恒成立，所以．

若是奇函數(shù)，則，即，

所以對任意實數(shù)恒成立，所以．

綜上，當時，是偶函數(shù)；

當時，奇函數(shù)，當，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；

（2），若函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，且對稱軸是直線，即對任意實數(shù)，恒成立，

，化簡得，

因為上式對任意成立，所以，，．

所以，函數(shù)的圖像是軸對稱圖形，其對稱軸是直線．