Question

3．已知f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)b=1時，判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）討論f（x）的極值點的情況．

Answer 1

分析 （1）將b=1代入函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極值點．

解答 解：（1）b=1時，f（x）=（x-1）²+lnx，（x＞0），
f′（x）=2（x-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+1}{x}$=$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）=（x-1）²+blnx，
∴f′（x）=2（x-1）+$\frac{x}$=$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+b-\frac{1}{2}}{x}$，
①b-$\frac{1}{2}$≥0即b≥$\frac{1}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）無極值點；
②b＜$\frac{1}{2}$時，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1-2b}}{2}$，
0＜b＜$\frac{1}{2}$時：
f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）遞增，
在（$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$）遞減，
∴x=$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$是極大值點，x=$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$是極小值點；
b≤0時：f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$）遞減，在（$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞）遞增，
∴x=$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$是極小值點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．