Question

在△ABC中，已知c=2，C=

π

3

（1）當b=

2 3

3

時，求角B的大�。�
（2）當△ABC的面積為

3

時，證明△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）由c=2，C=

π

3

，b=

2 3

3

，根據(jù)正弦定理即可求出sinB的值，根據(jù)B的范圍即C的度數(shù)，即可求出滿足題意B的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的面積公式表示出△ABC的面積S，讓S等于

3

，即可求出ab的值記作①，又根據(jù)余弦定理表示出關于a與b的方程記作②，①②聯(lián)立即可求出a與b的值都為2，根據(jù)三邊相等即可得出三角形為等比三角形，得證．

解答：解：（1）由c=2，C=

π

3

，b=

2 3

3

，
根據(jù)正弦定理得：

2

sin π 3

=

2 3 3

sinB

，解得sinB=

1

2

，又B∈（0，π），C=

π

3

，則B=

π

6

；
（2）因為△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

absin

π

3

=

3

，得到ab=4①，
又根據(jù)余弦定理得到4=a²+b²-2abcos

π

3

，化簡得：a²+b²-ab=4②，
由①得到a=

4

b

，代入②得：（b²-4）²=0，解得b²=4即b=2，代入①解得a=2，
因為a=b=c=2，所以是等邊三角形．

點評：此題考查學生靈活運用正弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道綜合題．