Question

5．（理）已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+1（x≤0）\\{e^{ax}}（x＞0）\end{array}\right.$在[-2，2]上的最大值不大于2，則實數(shù)a的取值范圍是a≤$\frac{1}{2}$ln2．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+1（x≤0）\\{e^{ax}}（x＞0）\end{array}\right.$在[-2，2]上的最大值不大于2，即可求出實數(shù)a的取值范圍

解答 解：當(dāng)x≤0時，f'（x）=6x（x+1），易得f（x）的極大值為f（-1）=2，符合題意．
當(dāng)x＞0時，討論如下：
若a＞0，則f'（x）=ae^ax＞0，易得f（x）的最大值為f（2）=e^2a，∴e^2a≤2，解得a≤$\frac{1}{2}$ln2，
∴$0＜a≤\frac{1}{2}ln2$符合題意；
若a＜0，則f'（x）=ae^ax＜0，即函數(shù)在（0，2]是遞減，符合題意；
若a=0，顯然符合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是a≤$\frac{1}{2}$ln2．
故答案為：a≤$\frac{1}{2}$ln2．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)最值的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．