Question

20．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是直四棱拄，其底面是邊長為m的菱形，∠BAD=60°，對角面 BDD₁B₁是矩形，G，H分別是CD₁，B₁C的中點(diǎn)．
（1）求證AD₁∥平面BDGH．
（2）若平面ACD₁⊥平面ACB₁，AA₁=2，求m．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC∩BD=O，連OG，運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）連OD₁，OB₁，由二面角的定義，可得∠B₁OD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，即∠B₁OD₁=90°，再由面面垂直的性質(zhì)定理和條件，即可得到AB=4．

解答 （1）證明：設(shè)AC∩BD=O，連OG，
∵ABCD為菱形，∴AO=CO，
又G為中點(diǎn)，∴OG∥AD₁，OG=$\frac{1}{2}$AD₁，
AD₁?面BDGH，OG?面BDGH，
∴AD₁∥平面BDGH．
（2）解：連OD₁，OB₁，
∵AD₁=CD₁，O為AC的中點(diǎn)，
∴OD₁⊥AC，同理OB₁⊥AC，
∠B₁OD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，
∴∠B₁OD₁=90°，
作OM⊥B₁D₁于M，又BDD₁B₁為矩形，
∴$\frac{OM}{{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，即有$\frac{A{A}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
即AB=4，即m=4．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定和面面垂直的定義和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查二面角平面角的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．