14．x∈（0，+∞），證明：x+sinx≥-2ln（x+1）．

分析 由題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+sinx+2ln（x+1），由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），判斷出f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性、求出最小值，即可證明結(jié)論成立．

解答 證明：由題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+sinx+2ln（x+1），
則f′（x）=1+cosx+$\frac{2}{x+1}$＞0，
所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取到最小值f（0）=0，
所以當(dāng)x∈[0，∞）時(shí)f（x）≥0恒成立，
則x+sinx≥-2ln（x+1）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查證明不等式的方法：構(gòu)造函數(shù)法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=4cosxcos（x-$\frac{π}{3}$）-2．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）時(shí)總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f（x）=x2-2x（x∈R）是單函數(shù)；②函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$是單函數(shù)；③若f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；④函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．其中的真命題是③（寫出所有真命題的編號(hào)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．如圖所示，邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在邊長為2的正方形A′B′C′D′的邊A′B′和A′D′上移動(dòng)，則$\overrightarrow{A'B}•\overrightarrow{A'C}$的最大值是（　　）
A．2B．1+$\sqrt{2}$C．πD．4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．函數(shù)y=1-2sinx的值域是（　�。�
A．[-2，1]B．[-1，3]C．[0，1]D．[-2，3]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x2-2ax+（2a-1）lnx，其中a∈R．
（I）a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．設(shè)全集為U，用集合A、B、C的交、并、補(bǔ)集符號(hào)表圖中的陰影部分．

（1）（A∪B）∩CU（A∩B），（2）C∩CU（A∪B），（3）（A∩B）∩C．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|x2+2x-8≤0}，
（1）求A∩B，（∁UA）∪B；
（2）若C={x|m+1≤x≤2m-1}且C∩A=C，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+c2-b2=2acsinB．求角B的大�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案