Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，則f（x）是（　　）

• A、奇函數(shù)且是增函數(shù)
• B、奇函數(shù)且是減函數(shù)
• C、偶函數(shù)且是增函數(shù)
• D、偶函數(shù)且是減函數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先求出定義域，再運(yùn)用定義判斷函數(shù)的奇偶性，再應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意分：設(shè)自變量-作差-變形-確定符號-下結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=2^x-2^-x的定義域?yàn)镽，
∵f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，
又設(shè)x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=（2^x₁-2^-x₁）-（2^x₂-2^-x₂）=（2^x₁-2^x₂）+（2^-x₂-2^-x₁）
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，即2^x₁-2^x₂＜0，
∴-x₁＞-x₂，2^-x₁＞2^-x₂，即2^-x₂-2^-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的定義，應(yīng)注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，及函數(shù)的單調(diào)性的定義，注意解題步驟，該題是一道基礎(chǔ)題．