Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²（a≥0）在（0，2）內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． a＞0
• B． a＞1
• C． a＞$\sqrt{2}$
• D． a＞2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=0得a（x-1）²=-（x-2）e^x，
當(dāng)x=1時(shí)，方程不成立，
即x≠1，則a=$\frac{（2-x）{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{（2-x）{e}^{x}}{（x-1）^{2}}$，
則h′（x）=$\frac{[（2-x）{e}^{x}]'（x-1）^{2}-（2-x）{e}^{x}[（x-1）^{2}]'}{（x-1）^{4}}$
=$\frac{（1-x）（x-1）^{2}{e}^{x}-2（x-1）（2-x）{e}^{x}}{（x-1）^{4}}$
=$\frac{-{e}^{x}（{x}^{2}-4x+5）}{（x-1）^{3}}$，
當(dāng)0＜x＜2且x≠1時(shí)，由h′（x）＞0得0＜x＜1，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由h′（x）＜0得1＜x＜2，
∵h(yuǎn)（0）=2，h（2）=0，當(dāng)x→1時(shí)，h（x）→+∞，
∴要使f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²（a≥0）在（0，2）內(nèi)有兩個零點(diǎn)，
則a＞2，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．