Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB=60°，PC=4，PA=2，E是PA的中點，平面PAC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角P-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=F，連接EF，則EF∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）由余弦定理得$AC=2\sqrt{3}$，從而PA²+AC²=PC²，進而PA⊥AC，以A為原點，分別以AC，AP所在直線為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角P-BD-E大小的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=F，連接EF，
∵E，F(xiàn)分別為PA，AC的中點，∴EF∥PC，…（1分）
∵EF?平面BDE，PC?平面BDE，…（3分）
∴PC∥平面BDE．…（3分）
解：（Ⅱ）△ABC中，∠ABC=180°-60°=120°，AB=BC=2，
由余弦定理得AC²=4+4-2×2×2×cos120°=12，∴$AC=2\sqrt{3}$．
在△PAC中，∵$PC=4，PA=2，AC=2\sqrt{3}$滿足PA²+AC²=PC²，
∴所以PA⊥AC，…（4分）
又∵平面PAC⊥平面ABCD且平面PAC∩平面ABCD=AC，…（5分）
∴PA⊥平面ABCD．…（5分）
如圖，以A為原點，分別以AC，AP所在直線為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，…（6分）
則$A（{0，0，0}），P（{0，0，2}），E（{0，0，1}），B（{1，\sqrt{3}，0}），D（{-1，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{DB}=（{2，0，0}），\overrightarrow{EB}=（{1，\sqrt{3}，-1}），\overrightarrow{PB}=（{1，\sqrt{3}，-2}）$．…（7分）
設(shè)平面EBD的一個法向量為n=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{n}•\overrightarrow{DB}=2x=0\\{n}•\overrightarrow{EB}=x+\sqrt{3}y-z=0.\end{array}\right.$，整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=\sqrt{3}y\end{array}\right.$，
令y=1，得${n}=（{0，1，\sqrt{3}}）$．…（9分）
設(shè)平面PDB的一個法向量為m=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{m}•\overrightarrow{DB}=2x=0\\{m}•\overrightarrow{PB}=x+\sqrt{3}y-2z=0.\end{array}\right.$整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ z=\frac{{\sqrt{3}}}{2}y\end{array}\right.$，
令y=2，得${m}=（{0，2，\sqrt{3}}）$，…（10分）
則$cos＜{n}，{m}＞=\frac{{{n}•{m}}}{{|{n}|•|{m}|}}=\frac{2+3}{{2•\sqrt{7}}}=\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$，
所以二面角P-BD-E大小的余弦值為$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．