Question

4．已知圓錐曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）和定點(diǎn)$A（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，且F₁，F(xiàn)₂分別為圓錐曲線C的左右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求過點(diǎn)F₂且垂直于直線AF₁的直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，將C的方程變形為普通方程，可得圓錐曲線C為橢圓，可得F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，由直線的斜率公式可得直線AF₁的斜率，進(jìn)而由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線l的普通方程，將其化為參數(shù)方程即可得答案；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立并整理得7t²-4t-4=0，設(shè)M，N兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知將曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）化為普通方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
則圓錐曲線C為橢圓，且F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
又∵$A（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，∴${k_{A{F_1}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}-0}}{0-（-1′）}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∵l⊥AF₁，∴${k_l}=-\sqrt{3}$，∴l(xiāng)的傾斜角為120°
又∵過點(diǎn)F₂（1，0）∴l(xiāng)的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos{120°}\\ y=tsin{120°}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
即l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程與C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立并整理得7t²-4t-4=0．
設(shè)M，N兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則由韋達(dá)定理有${t_1}+{t_2}=\frac{4}{7}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{7}$
∴$|MN|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{{（\frac{4}{7}）}^2}-4×（-\frac{4}{7}）}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$

點(diǎn)評 本題考查直線、橢圓的參數(shù)方程，關(guān)鍵是將參數(shù)方程變形為普通方程．