Question

13．一個容器內(nèi)部都是四棱錐形狀，且四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都是$\sqrt{3}$，若在容器內(nèi)放一個球，則此球的最大體積為$\frac{4}{3}π$$•（\sqrt{2}-1）^{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，要求球的最大體積，則需要求正四棱錐內(nèi)切球的半徑，然后通過求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，
要使球的體積最大，就要球的半徑最大，當該球為正四棱錐的內(nèi)切球時，體積最大，
依題意，棱錐底面邊長AB=2，側(cè)棱長PB=$\sqrt{3}$，則高PO=1，
取AD和BC的中點M，N，
則三角形PMN內(nèi)切圓的圓心就是該球的球心，內(nèi)切圓的半徑就是球的半徑，
在Rt△PMA和Rt△PNB中，可求得PM=PN=$\sqrt{2}$，又MN=2，
則△PMN為等腰直角三角形，設內(nèi)切圓半徑為r，
由$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}（\sqrt{2}+\sqrt{2}+2）r$，得r=$\sqrt{2}-1$，即內(nèi)切球的半徑為$\sqrt{2}-1$．
∴球的體積最大值為$\frac{4}{3}π$$•（\sqrt{2}-1）^{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}π$$•（\sqrt{2}-1）^{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．