設(shè)二次函數(shù) y=f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱軸,已知a+b=1,而且若點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上.
(1)求g(x)的解析式;
(2)設(shè)F(x)=g(x)-λf(x),問(wèn)是否存在這樣的l(λ∈R),使f(x)在內(nèi)是減函數(shù),在(,0)內(nèi)是增函數(shù).
【答案】分析:(1)根據(jù)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱軸,得到b=0,,又a+b=1,求得a=1,再根據(jù)點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上,代入,即可求得c的值,從而求得函數(shù)g(x)的解析式;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,假設(shè)存在λ滿足題意,即說(shuō)明是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),求導(dǎo),即是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),解方程即可求得λ的值,注意驗(yàn)證.
解答:解:(1)∵二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱軸,
∴b=0,又∵a+b=1,∴a=1,
∴f(x)=x2+c,
∵點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上,
∴y2+1=(x+c)2+c,即(x2+c)2+1=(x+c)2+c,
c=1,
∴f(x)=x2+1;g(x)=(x2+1)2+1;
(2)假設(shè)存在λ,使得F(x)在(內(nèi)是減函數(shù),在(,0)內(nèi)是增函數(shù),
是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),F(xiàn)(x)=(x2+1)2+1-λ(x2+1),
F′(x)=4x(x2+1)-2λx,∴F()=0,解得λ=3,
經(jīng)檢驗(yàn)知λ=3復(fù)合題意,
故λ=3.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題.考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,其中問(wèn)題(2)是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)y=f(x) 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),且f(-1)=3.
(1)求f(x) 的解析式;
(2)設(shè)區(qū)間A=[1,m],若x∈A時(shí),恒有f(x)∈A,求m 的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù) y=f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱軸,已知a+b=1,而且若點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上.
(1)求g(x)的解析式;
(2)設(shè)F(x)=g(x)-λf(x),問(wèn)是否存在這樣的l(λ∈R),使f(x)在(-∞,-
2
2
)
內(nèi)是減函數(shù),在(-
2
2
,0)內(nèi)是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)y=f(x)的最大值為13,且f(3)=f(-1)=5,
(1)求f(x) 的解析式;
(2)求f(x)在[0,3]上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn),且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.

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