Question

設(shè)二次函數(shù) y=f（x）=ax²+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，已知a+b=1，而且若點(diǎn)（x，y）在 y=f（x）的圖象上，則點(diǎn)（x，y²+1）在函數(shù) g（x）=f[f（x）]的圖象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）設(shè)F（x）=g（x）-λf（x），問(wèn)是否存在這樣的l（λ∈R），使f（x）在(-∞，-

2

2

)內(nèi)是減函數(shù)，在（-

2

2

，0）內(nèi)是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù) f（x）=ax²+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，得到b=0，又a+b=1，求得a=1，再根據(jù)點(diǎn)（x，y）在 y=f（x）的圖象上，則點(diǎn)（x，y²+1）在函數(shù) g（x）=f[f（x）]的圖象上，代入，即可求得c的值，從而求得函數(shù)g（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，假設(shè)存在λ滿(mǎn)足題意，即說(shuō)明-

2

2

是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，求導(dǎo)，即-

2

2

是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，解方程即可求得λ的值，注意驗(yàn)證．

解答：解：（1）∵二次函數(shù) f（x）=ax²+bx+c的圖象以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x²+c，
∵點(diǎn)（x，y）在 y=f（x）的圖象上，則點(diǎn)（x，y²+1）在函數(shù) g（x）=f[f（x）]的圖象上，
∴y²+1=（x+c）²+c，即（x²+c）²+1=（x+c）²+c，
c=1，
∴f（x）=x²+1；g（x）=（x²+1）²+1；
（2）假設(shè)存在λ，使得F（x）在（-∞，-

2

2

)內(nèi)是減函數(shù)，在（-

2

2

，0）內(nèi)是增函數(shù)，
而-

2

2

是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，F(xiàn)（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1），
F′（x）=4x（x²+1）-2λx，∴F（-

2

2

）=0，解得λ=3，
經(jīng)檢驗(yàn)知λ=3復(fù)合題意，
故λ=3．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，其中問(wèn)題（2）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．