Question

10．已知有窮數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不相等，將{a_n}的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列{P_n}，稱{P_n}為{a_n}的“序數(shù)列”，例如數(shù)列：a₁，a₂，a₃滿足a₁＞a₃＞a₂，則其序數(shù)列{P_n}為1，3，2．
（1）求證：有窮數(shù)列{a_n}的序數(shù)列{P_n}為等差數(shù)列的充要條件是有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列；
（2）若項(xiàng)數(shù)不少于5項(xiàng)的有窮數(shù)列{b_n}，{c_n}的通項(xiàng)公式分別是b_n=n•（$\frac{3}{5}$）ⁿ（n∈N^*），c_n=-n²+tn（n∈N^*），且{b_n}的序數(shù)列與{c_n}的序數(shù)列相同，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若有窮數(shù)列{d_n}滿足d₁=1，|d_n+1-d_n|=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（n∈N^*），且{d_2n-1}的序數(shù)列單調(diào)減，{d_2n}的序數(shù)列單調(diào)遞增，求數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由題意，分別證明充分性和必要性．其中，充分性證明即若有窮數(shù)列{a_n}的序數(shù)列{P_n}為等差數(shù)列，則有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列，分別討論{P_n}為遞增數(shù)列時(shí)，數(shù)列{a_n}的特點(diǎn)是項(xiàng)由大到小依次排列，得到有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列；
同理{P_n}為遞減數(shù)列，有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．必要性證明同樣需將有窮數(shù)列{a_n}分為遞增和遞減來討論，最后得出其序數(shù)列{P_n}為等差數(shù)列；
（2）通過作差法比較相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系，即b_n+1-b_n=$\frac{3-2n}{5}$•（$\frac{3}{5}$）ⁿ，得到當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+1＜b_n．所以需要比較第一項(xiàng)的大小所在的位置，計(jì)算可以得出b₂＞b₃＞b₁＞b₄的大小關(guān)系．由數(shù)列{c_n}大小關(guān)系為c₂＞c₃＞c₁＞c₄＞c₅＞…＞c_n-1＞c_n．
分別算出c₁=t-1，c₂=2t-4，c₃=3t-9．由列c₂＞c₃＞c₁列不等式并求解得t的取值范圍．
（3）因?yàn)閧d_2n-1}的序數(shù)列單調(diào)減，即d_2n+1-d_2n-1＞0，將其變形可得到d_2n+1-d_2n+d_2n-d_2n-1＞0．利用|d_2n+1-d_2n|=$（\frac{1}{2}）^{2n}$＜|d_2n-d_2n-1|=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$可得d_2n-d_2n-1＞0，即d_2n-d_2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$=$\frac{（-1）^{2n}}{{2}^{2n-1}}$①，由d_2n+1-d_2n＜0，d_2n+1-d_2n=$-（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{（-1）^{2n+1}}{{2}^{n}}$②
整理①②得d_n+1-d_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n}}$．所以可知數(shù)列{d_n+1-d_n}是等比數(shù)列，則可求其前n項(xiàng)和為Tn-1=（d₂-d₁）+（d₃-d₂）+…+（d_n-d_n-1）=d_n-d₁．即可求出數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：由題意得，
充分條件：
因?yàn)橛懈F數(shù)列{a_n}的序數(shù)列{P_n}為等差數(shù)列
所以①{P_n}為1，2，3，…，n-2，n-1，n
所以有窮數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，
②{P_n}為n，n-1，n-2，…，3，2，1
所以有窮數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
所以由①②，有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列
必要條件：
因?yàn)橛懈F數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列
所以①有窮數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列
則{P_n}為1，2，3，…，n-2，n-1，n的等差數(shù)列
②有窮數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列
則{P_n}為n，n-1，n-2，…，3，2，1的等差數(shù)列
所以由①②，序數(shù)列{P_n}為等差數(shù)列
綜上，有窮數(shù)列{a_n}的序數(shù)列{P_n}為等差數(shù)列的充要條件是有窮數(shù)列{a_n}為單調(diào)數(shù)列
（2）解：由題意得，
因?yàn)閎_n=n•（$\frac{3}{5}$）ⁿ（n∈N^*）
所以b_n+1-b_n=$\frac{3-2n}{5}$•（$\frac{3}{5}$）ⁿ
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n
b₁=$\frac{3}{5}$，b₂=$\frac{18}{25}$，b₃=$\frac{81}{125}$，b₄=$\frac{324}{625}$
b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞b₅＞…＞b_n-1＞b_n
又因?yàn)閏_n=-n²+tn（n∈N^*），且{b_n}的序數(shù)列與{c_n}的序數(shù)列相同
所以c₂＞c₃＞c₁＞c₄＞c₅＞…＞c_n-1＞c_n
又因?yàn)閏₁=t-1，c₂=2t-4，c₃=3t-9
所以2t-4＞3t-9＞t-1
所以4＜t＜5即t∈（4，5）
（3）解：由題意得，d_2n+1-d_2n-1＞0
所以d_2n+1-d_2n+d_2n-d_2n-1＞0
又因?yàn)閨d_2n+1-d_2n|=$（\frac{1}{2}）^{2n}$＜|d_2n-d_2n-1|=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$
所以d_2n-d_2n-1＞0，即d_2n-d_2n-1=$（\frac{1}{2}）^{2n-1}$=$\frac{（-1）^{2n}}{{2}^{2n-1}}$①
d_2n+1-d_2n＜0，d_2n+1-d_2n=$-（\frac{1}{2}）^{2n}$=$\frac{（-1）^{2n+1}}{{2}^{n}}$②
整理①②得d_n+1-d_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{{2}^{n}}$
令數(shù)列Bn=d_n+1-d_n則數(shù)列{Bn}是以$\frac{1}{2}$為首相，$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，所以{Bn}的前n-1項(xiàng)和為T_n-1=$\frac{\frac{1}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}（-\frac{1}{2}）^{n-1}$
所以d_n=d₁+T_n-1=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n-1}}$

點(diǎn)評(píng) 本題（1）是以數(shù)列為框架對(duì)充要條件進(jìn)行考察，要求學(xué)生要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S；（2）利用函數(shù)思想考察了數(shù)列的單調(diào)性，要求學(xué)生注意細(xì)節(jié)；（3）難度較大，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，得到數(shù)列{d_n+1-d_n}為等比數(shù)列，利用疊加求和方法間接求得數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式．