Question

15．已知對滿足x+y+4=2xy的任意正實數(shù)x，y，都有x²+2xy+y²-ax-ay+1≥0，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{17}{4}$]．

Answer 1

分析 依題意，由正實數(shù)x，y滿足x+y+4=2xy，可求得x+y≥4，由x²+2xy+y²-ax-ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+$\frac{1}{x+y}$恒成立，利用雙鉤函數(shù)的性質(zhì)即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因為正實數(shù)x，y滿足x+y+4=2xy，而4xy≤（x+y）²，代入原式得（x+y）²-2（x+y）-8≥0，解得（x+y）≥4或（x+y）≤-2（舍去）
由x²+2xy+y²-ax-ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）²+1，即a≤x+y+$\frac{1}{x+y}$
令t=x+y∈[4，+∞），
則問題轉(zhuǎn)化為a≤t+$\frac{1}{t}$，
因為函數(shù)y=t+$\frac{1}{t}$在[4，+∞）遞增，
所以y_min=4+$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{4}$，
所以a≤$\frac{17}{4}$
故答案為：（-∞，$\frac{17}{4}$]．

點評 本題考查基本不等式，考查雙鉤函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求得x+y≥4是關(guān)鍵，考查綜合分析與運算的能力，屬于中檔題．