Question

11．已知正方形ABCD，HG⊥平面ABCD，G，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，且AE=3EC，求證：EF為異面直線AC與HF的公垂線．

Answer 1

分析 連接BD交AC于Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)及中位線定理，可得FE⊥AC；連接GF，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定定理，可得FE⊥HF．，即EF為異面直線AC與HF的公垂線

解答 證明：連接BD交AC于Q，Q即正方形中心點(diǎn)，如圖所示：

∵AE=3EC，
∴E是QC的中點(diǎn)，
又∵F是BC中點(diǎn)，
∴FE∥BQ，
又∵BQ⊥AC，
∴FE⊥AC．
連接GF，
∵G和F都是中點(diǎn)，
∴GF∥AC，
∴FE⊥GF，
∵HG⊥平面ABCD，F(xiàn)E?平面ABCD，
∴HG⊥FE，
又由HG∩GF=G，
∴FE⊥平面HGF，
又∵HF?平面HGF，
∴FE⊥HF．
即EF為異面直線AC與HF的公垂線

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度中檔．