Question

3．已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N為AB上一點，AB=4AN，點M、S分別為PB、BC的中點，則SN與平面CMN所成角的大小為45°．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線和平面所成的角．

解答 解：以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖．則C（0，1，0），M（1，0，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，0，0），S（1，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{SN}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面CMN的法向量，
∵$\overrightarrow{CM}$=（1，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CN}$=（$\frac{1}{2}$，-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\frac{z}{2}=0}\\{\frac{x}{2}-y=0}\end{array}\right.$
∴可得平面CMN的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
設(shè)直線SN與平面CMN所成角為θ，
∵sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SN}$，$\overrightarrow{a}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴SN與平面CMN所成角為45°．
故答案為：45°．

點評 本題主要考查直線所成角的大小求法，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法是解決此類問題比較簡潔的方法．