Question

16．如圖，AD是Rt△ABC斜邊上的高，BE平分∠ABC交AD于點E，AF平分∠CAD交CD于點F．求證：
（1）EF∥AC；
（2）BF²=BD•BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線定理，可得$\frac{AE}{ED}$=$\frac{AB}{BD}$，$\frac{CF}{DF}$=$\frac{AC}{AD}$，由△ACD∽△BAD，可得$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{AD}$，進而得到答案；
（2）結(jié)合（1）中性質(zhì)，易得△ABF為以B為頂角的等腰三角形，結(jié)合射影定理，可得答案．

解答 證明：（1）∵BE平分∠ABC交AD于點E，AF平分∠CAD交CD于點F．
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{AB}{BD}$，$\frac{CF}{DF}$=$\frac{AC}{AD}$，
∵AD是Rt△ABC斜邊上的高，
故△ACD∽△BAD，
則$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AC}{AD}$，
即$\frac{AE}{ED}$=$\frac{CF}{DF}$，
即EF∥AC；
（2）由（1）得：
∠EFB=∠C=∠BAD，
∠EFA=∠FAC=∠FAD，
∴∠EFB+∠EFA=∠BAD+∠FAC，
即∠BFA=∠FAB，
即BF=AB，
由射影定理得：AB²=BD•BC．
∴BF²=BD•BC．

點評 本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，射影定理，難度中檔．