Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x-lnx，其中a＞-1．
（Ⅰ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，方程f（x）=0有且只有一個實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)，等價(jià)于方程f'（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實(shí)根，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）f（x）的圖象連續(xù)不斷，證明當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）=ax+（1-a）-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}+（1-a）x-1}}{x}=\frac{（x-1）（ax+1）}{x}，x＞0$，…（2分）
f（x）有兩個極值點(diǎn)等價(jià)于方程f'（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實(shí)根，
等價(jià)于$\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a≠0}\\{-\frac{1}{a}＞0}\\{-\frac{1}{a}≠1}\end{array}}\right.$，解得-1＜a＜0，即為所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍．…（5分）
（Ⅱ）解：（1）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，$-\frac{1}{a}＞1$，$f'（x）=\frac{{a（x-1）（x+\frac{1}{a}）}}{x}，x＞0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f'（x）＜0}\end{array}}\right.$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-1）（x+\frac{1}{a}）＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜x＜1或x＞-\frac{1}{a}$，…（6分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f'（x）＞0}\end{array}}\right.$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-1）（x+\frac{1}{a}）＜0}\end{array}}\right.$，解得$1＜x＜-\frac{1}{a}$，…（7分）
此時(shí)f（x）在（0，1）、$（-\frac{1}{a}，+∞）$上遞減，在$（1，-\frac{1}{a}）$上遞增，…（8分）
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以ax+1＞0，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．從而f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，…（10分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，（1）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，$f{（x）_{極小值}}=f（1）=1-\frac{1}{2}a＞1＞0$，…（11分）$f（-\frac{4}{a}）=4+\frac{4}{a}-ln（-\frac{4}{a}）=\frac{4（a+1）}{a}-ln（-\frac{4}{a}）$，
因?yàn)?1＜a＜0，
所以$\frac{a+1}{a}＜0$，又$-\frac{4}{a}＞4$，所以$ln（-\frac{4}{a}）＞0$，從而$f（-\frac{4}{a}）＜0$．…（14分）
又f（x）的圖象連續(xù)不斷，故當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點(diǎn)．
所以當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，方程f（x）=0有且只有一個實(shí)數(shù)根．…（15分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．