Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點．
（1）證明：AB⊥平面BEF；
（2）設(shè)PA=kAB，若平面EBD與平面BDC的夾角是大于45°的銳角，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AB⊥平面BEF；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法，表示出二面角的大小即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB⊥PA，AB⊥AD，
∴AB⊥面APD，
又∵BF∥AD，EF∥PD，
∴面APD∥面BEF，
∴AB⊥面BEF．
（2）以A為原點，以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=1，
則 B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，k），E（1，1，$\frac{k}{2}$），
則$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{k}{2}$），
設(shè)平面CBD法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，0，1），平面BDE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n2}?\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow{n2}?\overrightarrow{BE}=0\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-x+2y=0\\ 2y+kz=0\end{array}$   令y=1 
即$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，1，-$\frac{2}{k}$），
設(shè)二面角E-BD-C大小為θ，
即cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\frac{2}{k}}{\sqrt{{2}^{2}+1+\frac{4}{{k}^{2}}}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得k＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查線面垂直的判斷以及二面角的求解，建立空間坐標系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．