Question

6．已知n∈N^*，設(shè)函數(shù)f_n（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+（-1）ⁿ•$\frac{{x}^{n}}{n}$（x∈R）．函數(shù)φ（x）=f₃（x）+ax²的圖象在點(diǎn)B（1，φ（1））處的切線的斜率為1．
（1）求a的值．
（2）求z的取值范圍，使不等式φ（x）≤z對于任意x∈[0，2]恒成立；
（3）證明：存在無數(shù)個(gè)n∈N^*，對任意給定的兩個(gè)不同的x₁，x₂必有f_n（x₁）=f_n（x₂）成立．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=1；
（2）由題意可得z≥（1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x²）_max，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，即可得到所求范圍；
（3）討論n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)f_n（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)φ（x）=f₃（x）+ax²=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+ax²，
導(dǎo)數(shù)為φ′（x）=-1+x-x²+2ax，
在點(diǎn)B（1，φ（1））處的切線的斜率為-1+1-1+2a=1，
解得a=1；
（2）不等式φ（x）≤z對于任意x∈[0，2]恒成立，即為：
z≥（1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x²）_max，
由φ′（x）=-1+3x-x²，可得0＜x＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，
在$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜x＜2，φ′（x）＞0，φ（x）遞增．
即有x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，取得最小值，x=2時(shí)取得最大值，且為$\frac{7}{3}$．
則有z≥$\frac{7}{3}$；
（3）證明：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)f_n（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n}$（x∈R）．
導(dǎo)數(shù)為f_n′（x）=-1+x-x²+x³-x⁴+…+x^n-1=（x-1）（1+x²+x⁴+…+x^n-2），
即有x＞1時(shí)，f_n′（x）＞0，f_n（x）遞增；x＜1時(shí)，f_n′（x）＜0，f_n（x）遞減．
則存在無數(shù)個(gè)n∈N^*，且n為偶數(shù)時(shí)，
對任意給定的兩個(gè)不同的x₁，x₂必有f_n（x₁）=f_n（x₂）成立．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題和存在性問題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．