Question

16．橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若存在過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線L交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，使得OP⊥OQ，則橢圓離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意設(shè)直線L的方程為：my=x+c，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0．由$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系化為：m²=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-^{4}}{^{4}+^{2}{c}^{2}}$≥0，解出即可．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意設(shè)直線L的方程為：my=x+c，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2mc^{2}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-^{4}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（my₁-c）（my₂-c）+y₁y₂=0，
∴（m²+1）y₁y₂-cm（y₁+y₂）+c²=0，
∴$\frac{-^{4}（{m}^{2}+1）}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$-$\frac{2{m}^{2}{c}^{2}^{2}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$+c²=0，
化為：m²=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-^{4}}{^{4}+^{2}{c}^{2}}$≥0，
∴a²c²-（a²-c²）²≥0，
∴（e²+e-1）（e²-e-1）≤0，
∵0＜e＜1，
∴e²-e-1≤0，
∴e²+e-1≥0，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$≤e＜1．
∴橢圓離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，1）$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．