Question

20．公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；   
（2）若b_n=a_n-10，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差為d，由等比中項(xiàng)可知：（a₁+d）²=a₁•（a₁+4d），求得d=2a₁，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得2a₁+9d=20，聯(lián)立求得d和a₁，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；   
（2）根據(jù)（1）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)公差為d（d≠0），由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
得${a_2}^2={a_1}{a_5}$，即：（a₁+d）²=a₁•（a₁+4d），
解得：d=2a₁①
由前10項(xiàng)和為100，S₁₀=$\frac{10×（{a}_{1}+{a}_{1}+9d）}{2}$=100，
得2a₁+9d=20②，
解①②得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
所以：a_n=2n-1．--------------------（6分）
（2）由b_n=a_n-10，得b_n=2n-11，
則${T_n}=\frac{（-9+2n-11）n}{2}={n^2}-10n$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=n²-10n．----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．