Question

10．已知命題P：4^x-a•2^x+1≥0對?x∈[-1，1]恒成立，命題Q：f（x）=log₂（ax²-2x+$\frac{1}{3}$）的值域是R，若滿足P且Q為假，P或Q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先解命題，再研究命題的關(guān)系．若p且q為假，p或q為真，兩者是一真一假，計(jì)算可得答案．

解答 解：∵命題P：4^x-a•2^x+1≥0對?x∈[-1，1]恒成立，
∴a≤2^x+2^-x，對?x∈[-1，1]恒成立，
∴a≤2，
∵命題Q：f（x）=log₂（ax²-2x+$\frac{1}{3}$）的值域是R，
∴①a=0時(shí)，f（x）=log₂（-2x+$\frac{1}{3}$），符合題意；
②a≠0時(shí)，由題意，a＞0且△≥0，
綜上，0≤a≤3，
∵P且Q為假，P或Q為真，∴P、Q一真一假，
①若P真，Q假，則a＜0；
②若P假，Q真，則2＜a≤3．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（2，3]．

點(diǎn)評 本題通過邏輯關(guān)系來考查函數(shù)單調(diào)性和不等式恒成立問題，屬于中檔題．