Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂$\frac{1}{{a}_{n}+2}$，證明：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{_{k}_{k+1}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+S_n=-2n-1與a_n+1+S_n+1=-2n-3作差、整理可知a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+2}是首項(xiàng)為a₁+2=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：因?yàn)閍_n+S_n=-2n-1，所以a_n+1+S_n+1=-2n-3，
兩式相減，有a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=-2，即a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n-1，
所以a_n+1+2=$\frac{1}{2}$（a_n+2），
又因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=-3，
所以a₁=-$\frac{3}{2}$，
所以數(shù)列{a_n+2}是首項(xiàng)為a₁+2=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
所以a_n+2=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=-2+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）證明：由（1）得b_n=log₂$\frac{1}{{a}_{n}+2}$=n，
所以$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
所以$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{_{k}_{k+1}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，裂項(xiàng)求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．