Question

12．已知函數(shù)f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，結(jié)合已知中f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）可得結(jié)論；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，利用作差法判斷出$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$＞$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}2-x＞0\\ 2+x＞0\end{array}\right.$，解得-2＜x＜2，
∴f（x）的定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱．
又∵f（-x）=lg（2+x）-lg（2-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）=lg$\frac{2-x}{2+x}$．
設(shè)x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，2+x₁＞0，2+x₂＞0，
∴$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$-$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$=$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（2+{x}_{1}）（2+{x}_{2}）}$＞0
即$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$＞$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$，
∴l(xiāng)g$\frac{2-{x}_{1}}{2+{x}_{1}}$＞lg$\frac{2-{x}_{2}}{2+{x}_{2}}$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=lg（2-x）-lg（2+x）在（-2，2）內(nèi)單調(diào)遞減．

點評 判斷函數(shù)奇偶性，必須先求出定義域，單調(diào)性的判斷在定義域內(nèi)用定義判斷．