Question

7．已知f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$+log₂（x-1）+log₂（p-x）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，log₂$\frac{（p+1）^{2}}{4}$]，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)真數(shù)大于0，可以構(gòu)造不等式組，解得f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域可得p＞1時(shí)，滿足函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，log₂$\frac{（p+1）^{2}}{4}$]．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{x-1}＞0\\ x-1＞0\\ p-x＜0\end{array}\right.$可得：x∈（1，p），
即f（x）的定義域的定義域?yàn)椋?，p），
（2）由（1）知p＞1，此時(shí)f（x）=log₂$\frac{x+1}{x-1}$+log₂（x-1）+log₂（p-x）=log₂[（x+1）（p-x）]
此時(shí)t=（x+1）（p-x）的最大值為$\frac{（p+1）^{2}}{4}$＞0，
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，log₂$\frac{（p+1）^{2}}{4}$]
故p＞1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，切記函數(shù)的定義域不能為空集．