Question

19．設(shè)M={a|a=x²-y²，x，y∈Z}，求證：
（1）2k-1∈M，k∈Z．
（2）4k-2∉M，（k∈Z）
（3）若p∈M，q∈M，則pq∈M．

Answer 1

分析 （1）易知2k-1=k²-（k-1）²，k∈Z，從而證明2k-1∈M，k∈Z；
（2）假設(shè)4k-2∈M，從而可得4k-2=x²-y²，x，y∈Z，從而可得（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘積，從而證明；
（3）設(shè)p=m₁²-n₁²，q=m₂²-n₂²，從而可證pq=（m₁m₂+n₁n₂）²-（m₁n₂+m₂n₁）²∈M．

解答 證明：（1）∵2k-1=k²-（k-1）²，k∈Z；
∴2k-1∈M，k∈Z．
（2）假設(shè)4k-2∈M，
那么4k-2=x²-y²，x，y∈Z，
則$\frac{1}{4}$（x²-y²）+$\frac{1}{2}$=k，
則$\frac{1}{4}$（x-y）（x+y）+$\frac{1}{2}$=k，
則（x-y）（x+y）=2k（2k+1），
又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘積，
∴4k-2∉M，（k∈Z）；
（3）設(shè)p=m₁²-n₁²，q=m₂²-n₂²，
則pq=（m₁²-n₁²）（m₂²-n₂²）
=（m₁m₂）²+（n₁n₂）²-（m₁n₂）²-（m₂n₁）²
=（m₁m₂+n₁n₂）²-（m₁n₂+m₂n₁）²∈M．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．