Question

6．如圖，AB是圓O的直徑，C，F(xiàn)為圓O上的點，CA是∠BAF的角平分線，CD與圓O切于點C，且交AF的延長線于點D，CM⊥AB，垂足為點M．
（1）求證：DF=BM；
（2）若圓O的半徑為1，∠BAC=60°，試求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形全等以及切割線定理進行證明即可證明DF=BM；
（2）根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）連接OC，CB，則有∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分線，
∴∠OAC=∠FAC，
∴∠FAC=∠ACO，則OC∥AD，
∵DC是圓O的切線，∴CD⊥OC，
則CD⊥AD，
由題意得△AMC≌△ADC，
∴DC=CM，DA=AM，
由切割線定理得DC²=DF•DA=DF•AM=CM²，①，
在Rt△ABC中，由射影定理得CM²=AM•BM，②，
由①②得DF•AM=AM•MB，即DF=MB．
（2）在Rt△ABC中，AC=ABcos∠BAC=2cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
則CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
于是CD=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即CD的長為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查幾何的推理和證明，根據(jù)切割線定理以及三角形全等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．