【題目】已知函數(shù)
(1)求證f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù);
(2)求函數(shù)f(x)的值域;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0恒成立,求k的取值范圍.

【答案】
(1)證明:因為 ,

設x1<x2∈R,則

因為x1<x2∈R,所以 , ,

所以f(x1)﹣f(x2)<0,故f(x)是R上的增函數(shù)


(2)解:因為 ,

又2x+1>1,所以 …(7分)

所以 ,故 ,

所以f(x)的值域為(﹣1,1)


(3)解:因為 ,所以f(x)為奇函數(shù),

所以,從而不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)>0等價于f(t2﹣2t)>﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2

因f(x)為增函數(shù),由上式推得t2﹣2t>k﹣2t2,即對一切t∈R有3t2﹣2t﹣k>0

從而判別式△=4+12k<0,解得 ,

故實數(shù)k的取值范圍是


【解析】(1)根據(jù)增函數(shù)的定義可證明。(2)利用放縮法求出其值域。(3)利用奇函數(shù)的定義可證明f(x)為奇函數(shù),進而轉(zhuǎn)化原式等價為f(t2﹣2t)>﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2)再根據(jù)函數(shù)增減性的定義可得關于t的不等式,解得即可。
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較).

練習冊系列答案
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(Ⅱ)若該方程有兩個不等實數(shù)根,且這兩個根都大于1,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2a+6,x∈[﹣1,1],記此函數(shù)的最大值為M(a),最小值為N(a),求M(a),N(a)的解析式.

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